协方差与Matlab的实现

http://hi.baidu.com/hehui1500/item/fba9444327a24693823ae1e9

(参考文章)

标准差和方差一般是用来描述一维数据的

所谓的维数，拿EEG信号来说，每个通道就是一个维度，而同一个通道的每个一数字是样本。

协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量，我们可以仿照方差的定义：

来度量各个维度偏离其均值的程度，标准差可以这么来定义：

从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质，如：

协方差多了就是协方差矩阵

这个定义还是很容易理解的，我们可以举一个简单的三维的例子，假设数据集有三个维度，则协方差矩阵为

其中cov(x,y)就是一个数，对应x,y渠道平均值后，求内积再求平均值，就是x,y之间的协方差

可见，协方差矩阵是一个对称的矩阵，而且对角线是各个维度上的方差。

Matlab协方差实战

协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。

这个我将结合下面的例子说明，以下的演示将使用Matlab，为了说明计算原理，不直接调用Matlab的cov函数 。

首先，随机产生一个10*3维的整数矩阵作为样本集，10为样本的个数，3为样本的维数。

1MySample = fix(rand(10,3)*50)

根据公式，计算协方差需要计算均值，那是按行计算均值还是按列呢，我一开始就老是困扰这个问题。前面我们也特别强调了，协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。

dim1 = MySample(:,1);dim2 = MySample(:,2);dim3 = MySample(:,3);

计算dim1与dim2，dim1与dim3，dim2与dim3的协方差：

sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim2-mean(dim2)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到  74.5333

sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到  -10.0889

sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim3-mean(dim3)) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到  -106.4000

搞清楚了这个后面就容易多了，协方差矩阵的对角线就是各个维度上的方差，下面我们依次计算：

std(dim1)^2 % 得到   108.3222 std()是求标准差的函数

std(dim2)^2 % 得到   260.6222

std(dim3)^2 % 得到   94.1778

这样，我们就得到了计算协方差矩阵所需要的所有数据，调用Matlab自带的cov函数进行验证：

cov(MySample)

=

简化算法：

由于分别为m 与n 个标量元素的列向量随机变量X 与Y，二者对应的期望值分别为μ与ν，这两个变量之间的协方差定义为m×n
矩阵

也就是说，先让样本矩阵中心化，即每一维度减去该维度的均值，使每一维度上的均值为0，然后直接用新得到的样本矩阵乘上它的转置，然后除以(N-1)即可。即为上式。N 表示的是每一维度的样本数。

例子：

X’=[1 2 3 ] %均值是2

Y’=[4 5 6] %均值是5

则会得到 x-2=[-1 0 1]’ ; y-5=[-1 0 1]’

进行转置相乘后 求均值

则得到 (（x-2）’*(y-5))/2=[1 1;1 1] 同结果是一样的

再举个例子：

a=fix(rand(10,3)*50)

a =

37 42 17

12 12 41

25 40 29

34 12 27

44 46 45

47 17 14

27 9 37

6 12 37

7 30 19

12 23 28

x=a-repmat(mean(a),10,1)%这里mean(a)得到的是列平均值，repmat(mean(a),10,1)是产生一个10行一列的矩阵。在这里的一列是指mean(a)整体

x =

11.9000 17.7000 -12.4000

-13.1000 -12.3000 11.6000

-0.1000 15.7000 -0.4000

8.9000 -12.3000 -2.4000

18.9000 21.7000 15.6000

21.9000 -7.3000 -15.4000

1.9000 -15.3000 7.6000

-19.1000 -12.3000 7.6000

-18.1000 5.7000 -10.4000

-13.1000 -1.3000 -1.4000

(x’*x)./ (size(x,1)-1) =

232.9889 70.0778 -31.9333

70.0778 200.6778 -17.2444

-31.9333 -17.2444 111.1556